面向大二课程《最优化算法》，涵盖 ch03-1 起的每一个关键知识点。告别枯燥的公式硬背，通过交互式几何图形与解题工具箱，助你秒懂原理、快速攻克作业与考题！
建立多维优化数学骨架：水平集、二次型矩阵对称化、正定性判据、范数球与多维二阶泰勒展开逼近。
探索凸性神圣殿堂：点集凸包、保凸运算、一阶切平面支撑超平面定理、二阶半正定与四大经典凸优化模型。
极值分析判别法典：回归分析损失曲面、FONC/SONC/SOSC 驻点分类沙盒、正规方程与经典反例陷阱。
迭代算法核心引擎：下降方向、精确线搜索相邻步梯度垂直正交性、Zig-zag 锯齿震荡、Armijo 回溯与 Wolfe 条件。
循序渐进构建坚实的优化算法思维体系：从多维几何，到凸性保障，再到最优性判据与迭代数值求解。
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| 作业/考点题号 | 题目类型与核心内容 | 对应章节 | 对应核心理论与解题捷径 | 直通操作 |
|---|---|---|---|---|
| 作业第 3 题 | 双线性二次型 $f(x) = (a^T x)(b^T x)$ 的梯度与 Hessian | ch03-1 | 链式法则：$\nabla f = (ab^T + ba^T)x$；$\nabla^2 f = ab^T + ba^T$ 对称矩阵 | 直达计算器 ➔ |
| 作业第 4 题 | 多维复合函数的二阶泰勒展开式二次型表达 | ch03-1 | $f(x_0+p) = f(x_0) + \nabla f(x_0)^T p + \frac{1}{2}p^T \nabla^2 f(x_0) p$ | 直达展开助手 ➔ |
| 作业第 5 题 | 证明有限个凸函数的逐点最大值仍为凸函数 | ch03-2 | 利用 Jensen 不等式：$\max_i f_i(\alpha x + (1-\alpha)y) \le \alpha \max f_i(x) + (1-\alpha)\max f_i(y)$ | 查看推导卡片 ➔ |
| 作业第 6 题 | 单纯形上约束最小二乘问题凸规划判定与证明 | ch03-2 | 超平面约束集为多面体凸集；目标 Hessian $\nabla^2 f = A^T A \succeq 0$ 恒半正定 | 查看证明演练 ➔ |
| 作业第 7 题 | 证明凸函数的下水平集 $S_c = \{x \mid f(x) \le c\}$ 是凸集 | ch03-2 | 设 $x, y \in S_c$，则 $f(\alpha x + (1-\alpha)y) \le \alpha f(x) + (1-\alpha)f(y) \le c$ | 几何切片演示 ➔ |
| 作业第 8 题 | 半定规划 (SDP) 半正定锥凸性判定与 LP 转化 | ch03-2 | 二次型 $z^T( \alpha X + (1-\alpha)Y )z \ge 0$；将 LP 不等式写为对角矩阵 LMI | 查看 LMI 转化 ➔ |
| 课件例题 Slide 17 | 二元函数求驻点与 Hessian 局部极值充分性判别 | ch04-1 | 驻点 $(2, -3)$ 处 $\nabla^2 f \succ 0$ 为局部极小；$(1, -1)$ 处不定为鞍点 | 驻点判定沙盒 ➔ |
| 下降法核心考点 | 精确线搜索相邻梯度正交性与之字形锯齿震荡 | ch04-2 | $\phi'(\alpha_k) = \nabla f(x_{k+1})^T d_k = 0$；最速下降法在病态椭圆峡谷中反复横跳 | 正交轨迹模拟 ➔ |